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高中数学一对一补习讲明函数的图象

  

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  高中数学一对一补习讲解函数的图象_数学_高中教育_教育专区。高中数学一对一补习讲解函数的图象 函数是高一新生数学学习的入门课。可是很多学生学了三年,发 现函数是啥都不清楚,这就是很尴尬的一件事情了。那就说明其根本 没有学懂数学。不知道数学是在干啥,那么其最后的成绩也是可想而 知了! 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的 性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与 坐标轴的交点等),描点,连线.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x) ――→ y=-f(x); ②y=f(x) ――→ y=f(-x); ③y=f(x) ――→ y=-f(-x); ④y=ax(a>0 且 a≠1) ――→ y=logax(x>0). (3)翻折变换 关于 y=x 对称 关于原点对称 关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 ①y=f(x)将 x 轴下方图象翻折上去 ――→ y=f(x). ②y=f(x) 保留 y 轴及右边图象,并作其 y=f(x). 关于 y――→ 轴对称的图象 保留 x 轴及上方图象 (4)伸缩变换 ①y=f(x) 1 a>1,横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 a → 1 0<a<1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变 a y=f(ax). ②y=f(x) a>1,纵坐标伸长为原来的 a 倍,横坐标不变 → 0<a<1,纵坐标缩短为原来的 a 倍,横坐标不变 y=af(x). 要点整合 1.辨明三个易误点 (1)图象左右平移仅仅是相对 x 而言的, 即发生变化的只是 x 本身, 利用“左加右减”进行操作.如果 x 的系数不是 1,需要把系数提出 来,再进行变换. (2)图象上下平移仅仅是相对 y 而言的, 即发生变化的只是 y 本身, 利用“上加下减”进行操作.但平时我们是对 y=f(x)中的 f(x)进行操 作,满足“上加下减”. (3)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称 的区别. 2.会用两种数学思想 (1)数形结合思想 借助函数图象, 可以研究函数的定义域、 值域、 单调性、 奇偶性、 对称性等性质;利用函数的图象,还可以判断方程 f(x)=g(x)的解的 个数、求不等式的解集等. (2)分类讨论思想 画函数图象时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分 别画出其图象. 练习测试 1.函数 y=x-1,则图象关于________对称( A.(1,0) C.直线) D.直线, [ 解析] y =x -1 = 0,x=1, -x+1,x<1. C. 其图象如图所示.故选 ) 2.已知函数 f(x)= 1+ln x,x≥1, 则 f(x)的图象为( x3,x1, ) f(x) A [解析] 由题意知函数 f(x)在 R 上是增函数, 当 x=1 时, =1,当 x=0 时,f(x)=0,故选 A. 3.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y= ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex C.e D -x +1 ) B.ex D.e -x -1 -1 -x+1 [解析] 曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,将 y=e - -(x+1) 向左平移 1 个单位长度得到 y=e ,即 f(x)=e -x-1 . 4. (2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=ax3-2x 的图象过点(-1, 4),则 a=________. [解析] 因为 f(x)=ax3-2x 的图象过点(-1,4), 所以 4=a×(-1)3-2×(-1),解得 a=-2. [答案] -2 5.若关于 x 的方程x=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围 是________. [解析] 由题意 a=x+x, 令 y=x+x= 2x,x≥0, 0,x0, 图象如图所示,故要使 a=x+x 只有 一解,则 a0,即实数 a 的取值范围是(0,+∞). [答案] (0,+∞) 作函数的图象 分别作出下列函数的图象. (1)y=2x 2; + (2)y=lg x; x+2 (3)y= . x-1 【解】 (1) 将 y = 2x 的图象向左平移 2 个单 位.图象如图所示. (2)y= lg x,x≥1, 图象如图所示. -lg x,0x1. (3)因为 y=1+ 3 3 ,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 x x-1 x+2 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 y= 的图象,如图. x-1 x+2 将本例(3)的函数变为“y= ”,函数的图象如何? x+3 x+2 1 1 [解] y= =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 x x+3 x+3 个单位,再向上平移 1 个单位得到,如图所示. 分别作出下列函数的图象. (1)y=x-2(x+1); 1 x (2)y= 2 ; (3)y=log2x-1. [解] (1)当 x≥2,即 x-2≥0 时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2 1 x- 2 9 = 2 - ; 4 当 x2,即 x-20 时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2 1 x- 2 9 =- 2 + . 4 1 x- 2 9 2 - ,x≥2, 4 所以 y= 1 x- 2 9 - 2 + ,x2. 4 这是分段函数 , 每段函数的图象可根据二次函数图象作出 ( 如 图). 1x 1x (2)作出 y= 2 的图象,保留 y= 2 图象中 x≥0 的部分,加上 y 1x 1 x = 2 的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 y= 2 的图象, 如图中实线x的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即 得到 y=log2x-1的图象. 识图与辨图[学生用书 P37] [典例引领] (1)(2017·广西第一次质量检测)函数 y=(x3-x)2x的图象大致是 ( ) ax+b (2)(2015·高考安徽卷)函数 f(x)= 的图象如图所示, 则下 (x+c)2 列结论成立的是( ) A.a0,b0,c0 B.a0,b0,c0 C.a0,b0,c0 D.a0,b0,c0 【 解析 】 (1)易判断函数为奇函数.由 y =0 得 x =±1 或 x= 0 且当 0x1 时,y0;当 x1 时,y0,故选 B. (2)函数定义域为{xx≠-c},结合图象知-c0,所以 c0. b 令 x=0,得 f(0)= 2,又由图象知 f(0)0,所以 b0. c b b 令 f(x)=0,得 x=- ,结合图象知- 0,所以 a0. a a 故选 C. 【答案】 (1)B (2)C 识辨函数图象的入手点 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断 图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. [通关练习]) 1.如图,矩形 ABCD 的周长为 4,设 AB=x,AC=y,则 y=f(x) 的大致图象为( ) C [解析] 法一: 由题意得 y= x2+(2-x)2= 2x2-4x+4, x∈(0,2)不是一次函数,排除 A、B.当 x→0 时,y→2,故选 C. 法二:由法一知 y= 2(x-1)2+2在(0,1]上是减函数,在[1, 2)上是增函数,且非一次函数,故选 C. 2.在同一平面直角坐标系中,函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象关于 直线 y=x 对称,现将 y=g(x)的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得图象是由两条线段组成的折线,如图, 则函数 y=f(x)的表达式为________. [解析] 设经过两次平移后所得图象对应的函数为 h(x),则 x +1,-2≤x≤0, 2 h(x)= 2x+1,0<x≤1, x -1,0≤x≤2, 2 所以 g(x)= 2x-4,2<x≤3, 2x+2,-1≤x≤0, 所以 f(x)= 1x+2,0<x≤2. 2 2x+2,-1≤x≤0, [答案] f(x)= 1x+2,0<x≤2 2 函数图象的应用(高频考点)[学生用书 P38] 函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命 题的一个高频考点,常以选择题、填空题的形式出现. 高考对函数图象应用问题的考查主要有以下四个命题角度: (1)利用函数图象研究函数性质; (2)利用函数图象研究不等式的解; (3)利用函数图象求参数的取值范围; (4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第 8 讲). [典例引领] (1)(2015· 高考北京卷) 如图,函数 f(x) 的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的 解集是( ) A.{x-1<x≤0} B.{x-1≤x≤1} C.{x-1<x≤1} D.{x-1<x≤2} (2)函数 y=log2x+1的单调递减区间为________,单调递增区间 为________. 【解析】 (1)令 g(x)=y=log2(x+1),知 g(x)的定义域为(-1, +∞),作出函数 g(x)的图象如图. 由 x+y=2, x=1, 得 y=log2(x+1), y=1. 所以结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x-1<x≤1}. (2)作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得 到函数 y=log2x的图象,再将图象向左平移 1 个单位长 度就得到函数 y=log2x+1的图象(如图所示).由图知, 函数 y=log2x+1的单调递减区间为(-∞, -1), 单调递增区间为(- 1,+∞). 【答案】 (1)C (2)(-∞,-1) (-1,+∞) 求解策略 函数图象应用的求解策略 (1)研究函数性质:①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最 低点,分析函数的最值、极值;②从图象的对称性,分析函数的奇偶 性;③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性;④从图象与 x 轴的交点情况,分析函数的零点等. (2)研究不等式的解: 当不等式问题不能用代数法求解, 但其对应 函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关 系问题,从而利用数形结合求解. [题点通关] 角度一 利用函数图象研究函数性质 1.下列区间中,函数 f(x)=lg(2-x)在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 3 0, C. 2 D 4 -1, B. 3 D.[1,2) ) [解析] 用图象法解决,将 y=lg x 的图象关于 y 轴对称得 到 y=lg(-x)的图象,再向右平移两个单位,得到 y= lg[-(x-2)]的 图象,将得到的图象在 x 轴下方的部分翻折上来,即得到 f(x)=lg(2 -x)的图象.由图象,在选项中的区间上 f(x)是增函数的显然只有 D. 角度二 利用函数图象研究不等式的解 2.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f(x)-f(-x) 0 的解集为( x A.(-1,0)∪(1,+∞) ) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) D [解析] 因为 f(x)-f(-x) f(x) f(x)为奇函数,所以不等式 0 可化为 0, x x 即 xf(x)0, f(x) 的大致图象如图所示.所以 xf(x)0 的解集为 ( - 1 , 0)∪(0,1). 角度三 利用函数图象求参数的取值范围 3. 函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(x)= 2 x-1,x≤0, - 若方程 f(x) f(x-1),x0, =x+a 有两个不同实根,则 a 的取值范围是________. [解析] 当 x≤0 时,f(x)=2 x-1, - 当 0x≤1 时,-1x-1≤0,f(x)=f(x-1)=2 时,-1x-2≤0, f(x)=f(x-1)=f(x-2)=2 -(x-2) -(x-1) -1.当 1x≤2 -1. 故 x0 时,f(x)是周期函数,如图, 欲使方程 f(x)=x+a 有两解,即函数 f(x)的图象与直线 y=x+a 有两个不同交点,故 a1,则 a 的取值范围是(-∞,1). [答案] (-∞,1) [学生用书 P267(独立成册)] 1.函数 y=x2-2x的图象是( ) B [解析] 由 y=x2-2x知是偶函数,故图象关于 y 轴对称, 排除 C.当 x≥0 时,y=x2-2x=(x-1)2-1.即当 x=0 时,y=0,当 x =1 时,y=-1,排除 A、D,故选 B. 2. 若函数 f(x)= ax+b,x-1 ln(x+a),x≥-1 ) 的图象如图所 示,则 f(-3)等于( 1 A.- 2 C.-1 5 B.- 4 D.-2 ln(-1+a)=0, C [解析] 由图象可得 a(-1)+b=3, 得 a=2, b=5, 所以 f(x)= 故选 C. 2x+5,x-1 , 故 f(-3)=2×(-3)+5=-1, ln(x+2),x≥-1 3.已知函数 f(x)=xx-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) C f(x)= [解析] 将函数 f(x)=xx-2x 去掉绝对值得 ) x2-2x,x≥0, 画出函数 f(x)的图象,如图,观 -x2-2x,x0, 察图象可知, 函数 f(x)的图象关于原点对称, 故函数 f(x) 为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. sin x 4.(2017·滨州二模)函数 y= ,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象 x 大致是( ) sin x A [解析] 函数 y= ,x∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,所 x sin x 以图象关于 y 轴对称,部分如何找家教兼职南京家教网上,排除 B,C,又当 x→π时,y= →0,故选 x A. 5. 已知 y=f(2x+1)是偶函数, 则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是 ( ) A.x=1 1 C.x=- 2 B.x=-1 1 D.x= 2 D [解析] 因为函数 y=f(2x+1)是偶函数,所以其图象关于 y 1 轴对称, 而函数 y=f(2x)的图象是将函数 y=f(2x+1)的图象向右平移 2 1 个单位, 所以对称轴也向右平移 个单位, 所以函数 y=f(2x)的图象的 2 1 对称轴为 x= . 2 6.(2017·贵阳一模)已知 f(x)=ax 2,g(x)=logax(a0 且 a≠1), - 若 f(4)g( - 4)0 ,则 y = f(x) , y = g(x) 在同一坐标系内的大致图象是 ( ) B [解析] 因为 f(x)=ax 20 恒成立, 又 f(4)g(-4)0, 所以 g(- - 4)=loga-4=loga40=loga1, 所以 0a1.故函数 y=f(x)在 R 上单调 递减,且过点(2,1),函数 y=g(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞, 0)上单调递增,故 B 正确. 7.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O, 1 A, B 的坐标分别为(0, 0), (1, 2), (3, 1), 则 f f(3) 的值等于________. 1 1 [解析] 由图象知 f(3)=1,所以 =1.所以 f f(3) =f(1)= f(3) 2. [答案] 2 8 .若函数 f(x) = ________. ax-2 a-2 [解析] 函数 f(x)= =a+ ,当 a=2 时, x-1 x-1 f(x)=2(x≠1),函数 f(x)的图象不关于点(1,1)对称,故 a≠2,其 图象的对称中心为(1,a),所以 a=1. [答案] 1 9.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y= ex 关于 y 轴对称,则不等式 f(-x)>1 的解集为________. [解析] 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,函数 y=e - -x ax-2 的图象关于点 (1 , 1) 对称,则实数 a = x-1 的图象向左平移 1 个单位长度即可得到函数 f(x)的图象, 即 f(x)=e -(x+1) =e - -x-1 . 所以 f(-x)=ex 1>1. 即x>1,则有 x<-1 或 x>1. [答案] {xx<-1 或 x>1} 10.(2017·长沙模拟)已知函数 f(x)= log2x,x0, 2x,x≤0, 且关于 x 的方 程 f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a 的取值范围是________. [解析] 当 x≤0 时,02x≤1,画出 f(x)的图象,由图象可知要使 方程 f(x)-a=0 有两个实根,即函数 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交 点,此时 0a≤1. [答案] (0,1] x 11.已知函数 f(x)= . 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)指出 f(x)的单调区间. x 1 [解] (1)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是 1+x x+1 1 由反比例函数 y=- 的图象向左平移 1 个单位后, x 再向上平移 1 个单位得到的,图象如图所示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调增区间: (-∞,-1),(-1,+∞). 12.已知函数 f(x)= 3-x2,x∈[-1,2], x-3,x∈(2,5]. (1)作出函数 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值. [解] (1)函数 f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知, 函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. (3)由图象知当 x=2 时,f(x)min=f(2)=-1, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=3. 能力提升 x2+2x-1,x≥0, 13.已知函数 f(x)= 2 则对任意 x1,x2∈R,若 x -2x-1,x0, 0x1x2,下列不等式成立的是( A.f(x1)+f(x2)0 C.f(x1)-f(x2)0 ) B.f(x1)+f(x2)0 D.f(x1)-f(x2)0 D [解析] 函数 f(x)的图象如图所示: 且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函 数. 又 0x1x2, 所以 f(x2)f(x1), 即 f(x1)-f(x2)0. 2x-1 14. (2017·深圳质检)设函数 y= , 关于该函数图象的命题如 x-2 下: ①一定存在两点,这两点的连线平行于 x 轴; ②任意两点的连线都不平行于 y 轴; ③关于直线 y=x 对称; ④关于原点中心对称. 其中正确的是________. [解析] y= 知②③正确. 2x-1 2(x-2)+3 3 = =2+ ,图象如图所示.可 x-2 x-2 x-2 [答案] ②③ 1 15. 已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0, x 1)对称. (1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a x 的取值范围. [解] (1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称 1 点 P′(-x,2-y)在 h(x)的图象上,即 2-y=-x- +2, x 1 即 y=f(x)=x+ (x≠0). x a+1 a (2)g(x)=f(x)+ =x+ , x x a+1 g′(x)=1- 2 . x a+1 因为 g(x)在(0,2]上为减函数,所以 1- 2 ≤0 在(0,2]上恒成 x 立, 即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立, 所以 a+1≥4,即 a≥3, 故实数 a 的取值范围是[3,+∞). 16.(1)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且当 x∈R 时,f(m+x) =f(m-x)恒成立,求证:y=f(x)的图象关于直线)若函数 f(x)=log2ax-1的图象的对称轴是 x=2,求非零实数 a 的值. [解] (1)证明:设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上任意一点, 则 y0=f(x0). 设 P 点关于 x=m 的对称点为 P′, 则 P′的坐标为(2m-x0,y0). 由已知 f(x+m)=f(m-x),得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)] =f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0. 即 P′(2m-x0,y0)在 y=f(x)的图象上. 所以 y=f(x)的图象关于直线)对定义域内的任意 x, 有 f(2-x)=f(2+x)恒成立. 所以a(2-x)-1=a(2+x)-1恒成立, 即-ax+(2a-1)=ax+(2a-1)恒成立. 又因为 a≠0, 1 所以 2a-1=0,得 a= . 2